Testat 7: Variation der Konstanten.

Man gebe eine Lösung der folgenden Differentialgleichung an! Es sind keine Anfangswertbedingungen zu erfüllen, die Angabe irgendeiner auf einer Umgebung von 0 in R definierten Lösung ist also ausreichend.

Hinweise zur Lösung:

• Die Methode der Variation der Konstanten zur Reduktion einer linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion auf eine Quadraturaufgabe besteht bekanntlich darin, daß die Lösung von

  f'(x)+a(x)f(x)=b(x)

  als f(x)=C(x)h(x) angesetzt wird, wobei h eine nichttriviale Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung

  h'(x)+a(x)h(x)=0

  ist. Man findet für C die Differentialgleichung C'(x)=b(x)/h(x). Bevor die Methode angewendet werden kann, muß also zunächst eine von 0 verschiedene Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung bekannt sein.
• Das Lösen der homogenen Differentialgleichung wurde in Testat 1 geübt. Die entstehende Integrationsaufgabe ist im Fall A eine Integration rationaler Funktionen in x. In Fall B braucht man die aus der Vorlesung bekannte Stammfunktion des Tangens. In beiden Fällen gibt das Javascript-Programm als Zwischenschritt eine von 0 verschiedene Lösung der homogenen Gleichung an.
• Die Bestimmung der Funktion C(x) führt in Fall A auf eine Integration rationaler Funktionen, wie sie in Testat 12 im vergangenen Semester geübt wurde. Der Fall B führt auf eine rationale Funktion in sin(x) und cos(x). Diese ist so beschaffen, daß die (in der Vorlesung besprochene) Substitution s=sin(x) meist mit weniger Aufwand zum Ziel führen dürfte als die Substitution t=tan(x/2).